排列問題：梅花間竹

在新高中的數學課程中，加入了排列 (Permutation) 和組合 (Combination) 這個課題，當中的題目變化頗多，令不少學生感到十分苦惱。不過，若肯細心分析，就會發現考題萬變不離其中；只要掌握好幾個主要題型，很多問題都能迎刃而解。本篇要討論的，是栗妹稱為「梅花間竹」的一號題型。請大家先看以下題目：

五男四女一字型排開，若男女必須相間，問有多少種排法？

要解這道題，先要弄清楚何謂男女相間。若以B表示男，G表示女，男女相間即是：

B G B G B G B G B

留意因為男的數目比女的多，所以男的必須排左右兩則，否則便不符合男女相間的要求。弄清楚排法後，接下來就分男女再考慮。根據上面的排法，有 5 個固定位置供男士站，所以男士的排列方式共有

5! = 120 種

至於女士，則有 4 個固定位置，所以排列方式共有

4! = 24 種

因為男女必須同時排在一起，所以五男四女的排法合共有

120 x 24 = 2880 種

這個題目還有一個變奏，就是男女數目相等時，排法又有多少呢？舉例說，若今次是四男四女一字型排開，那麼就有兩種不同的排法：

第一款：B G B G B G B G

第二款：G B G B G B G B

根據基本題型的計算，第一款共有 4! x 4! = 576 種排法，第二款也是，所以四男四女的排法合共有

576 + 576 = 1152 種

值得留意的是，如果題目不是要求男女相間，而是男 (或女) 的不能排在一起，那麼計法就要改成如下：

X O X O X O X O X

假設男的排在 O 的位置，那麼四位女士就有五個位置 (即 X) 可供選擇，反之亦然。男的排法同上，即

4! = 24

但女士因為要從五個位置選四個來排，所以排列方式就變成

5P4 = 120

排列方式的數目跟篇首五男四女相間排法相同，即

24 x 120 = 2880 種

希望這篇對苦惱中的學生有點幫助~~~