挑大數的遊戲

1958年，美國明尼亞波里斯---漢威調節器公司 (Minneapolis-Honeywell Regulator Company) 的小福克斯 (John H. Fox, Jr.) 和麻省理工學院的馬尼 (L. Gerald Marnie) 設計了一個稱為「挑大數」(Googol) 的賭博遊戲，玩法如下：預備一堆紙片，每張紙片上寫一個不同的正數，數字可以從很小的幾分之一，一直到10 的100次方 (即google，1後面有100個0) 或更大的數字。將這些紙片正面朝下，在桌面上隨意混合幾下。接下來每次翻開一張，一直翻到玩家認為出現了那疊紙片的最大數字為止。玩家不可以回頭再挑已經翻開的紙片。如果翻完了所有紙片，就表示玩家選的是最後一張。

大多數人認為，玩家選的數字不是最大數字的賠率至少是五賠一。事實上，如果玩家採行最佳策略，選中的機會要比三次才中一次來得好一點，但有兩個問題必須解決。首先，最好的策略是甚麼？(注意，這和「選出的值為極大」的策略並不相同。) 其次，如果你遵循這個最佳策略，那麼要如何計算勝率？


解答：

不論有多少張紙片，挑中最大數字紙片的機率 (假設採用最佳策略) 不低於 0.367879，即 e 的倒數。當紙片的數量趨近於無窮大時，挑中大數的機率其極限值就是這個數。

-----------------------

趣味應用：

有個女孩決定在年底前結婚，她估計會碰到十個人向她求婚，然而她一旦拒絕某個人，那人就不會回頭再試了。那麼她該採取何種策略，使得在十個人中挑到最好一位的機會達到最大，而她成功的機率又有多少？

解答：

策略是先從三人中選最好的一位，然後再挑下一位更好的。成功的機率為 0.398。

-----------------------

上文摘自葛蘭登 (Martin Gardner) 的《拼圖拼字拼數學》。栗看完後的感想：婚嫁果然也是遊戲一場！